～～～ 整数論やＲＳＡ暗号に興味のある方へ ～～～
或る数Ｐが素数であるか合成数であるかを判定する不定方程式の解説をします．ただし、素数２と素数３の判定はできないので２と３は例外とします．と云うよりも２と３を除くと、素数はとてもシンプルな構造をしている事に気が付きます．（スマホの小さな画面では読みにくいと思いますので、パソコンでご覧ください）
～～～ 方程式の提示と説明 ～～～
まず初めに、素数判定方程式を示します．
Ｐ＝３６ｍｎ＋６ｍ＋６ｎ＋１
Ｐには、素数かどうかを判定したい数を代入します．
ただし、Ｐは６で割ると１が余る数とします．
ｍとｎは、変数です．
この素数判定方程式に、或る数Ｐを与えて、ｍとｎの整数解を求めます．その結果により、Ｐが素数かどうかを判定します．
判定基準は、ｍとｎの整数解が共に０以外であれば、Ｐは合成数と判定します．
なぜなら、
Ｐ＝３６ｍｎ＋６ｍ＋６ｎ＋１
＝（６ｍ＋１）×（６ｎ＋１）
となり、Ｐが素因数分解できるからです．
ｍとｎの整数解が共に０になるのは、Ｐ＝１の場合だけです．
なぜなら、
Ｐ＝３６×０×０＋６×０＋６×０＋１＝１
となるからです．
上記以外の場合、つまり、ｍとｎの片方だけが０となる整数解しかない場合、Ｐは素数と判定します．
Ｐ＝（３６ｍ×０）＋６ｍ＋（６×０）＋１＝６ｍ＋１
または
Ｐ＝（３６×０×ｎ）＋（６×０）＋６ｎ＋１＝６ｎ＋１
となり、素因数分解ができないからです．
～～～ 計算例、その一 ～～～
２１７は６で割ると１が余ります．
それでは、素数判定方程式のＰに２１７を代入します．
２１７＝３６ｍｎ＋６ｍ＋６ｎ＋１
この式の整数解を求めると、
（ｍ、ｎ）＝（１、５）
があります．
整数解が共に０以外なので、Ｐは合成数です．
そして、素因数分解ができます．
Ｐ＝（６ｍ＋１）×（６ｎ＋１）
２１７＝（６×１＋１）×（６×５＋１）＝７×３１
となります．
～～～ 計算例、その二 ～～～
もうひとつ、例として、１３が素数か合成数かを判定してみます．
１３を６で割ると１が余ります．
それでは、素数判定方程式のＰに１３を代入します．
１３＝３６ｍｎ＋６ｍ＋６ｎ＋１
この式の整数解を求めると、
（ｍ、ｎ）＝（０、２）または、（ｍ、ｎ）＝（２、０）
です．
これら以外に整数解はありません．
整数解の片方だけが０なので、Ｐは素数と判定します．
Ｐ＝（６ｍ＋１）×（６ｎ＋１）
１３＝（６×０＋１）×（６×２＋１）＝１×１３
となり、素因数分解が出来ないことが確認できます．
～～～ Ｐを６で割ると５が余る場合 ～～～
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興味のある方は御覧になってみてください．
題名： エッセイ（数学）『素数判定方程式』
著者： 茜町春彦
発行：2017年9月9日
価格： 無料
サイト： 「パブー」にて公開中
リンク： 電子書籍へは、このページのトップにあるリンクから移動できます．ブラウザで読むことも、ダウンロードすることも可能です．
